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<!DOCTYPE html>

<title>Halbwertsbreite</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Halbwertsbreite</span></h1>

</header>

</div>

<p>In der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> ist die <b>Halbwertsbreite</b> einer <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> mit einem <a href="Extremwert" title="Extremwert">Maximum</a> die Differenz zwischen den beiden Argumentwerten, für die die Funktionswerte auf die Hälfte des Maximums abgesunken sind, anschaulich also die „Breite bei halber Höhe“.

</p><p>Entsprechend ist im Englischen und in der Technik für die Halbwertsbreite die Bezeichnung <b>FWHM</b>, <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a></span> <span lang="en-Latn" style="font-style:italic">Full Width at Half Maximum</span>, gebräuchlich. Ist die Funktion von der Zeit abhängig, wird die Bezeichnung <b>FDHM</b>, <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a></span> <span lang="en-Latn" style="font-style:italic">Full Duration at Half Maximum</span>, verwendet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Eine Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"></span> habe bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{\mathrm {max} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b05ceccc460e7fe6fa922bfe4ee5ee4aca4613a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.621ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{\mathrm {max} }}" loading="lazy"></span> ein Maximum. An den Stellen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{2}}" loading="lazy"></span> ist der Wert der Funktion auf die Hälfte des Maximums abgesunken:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})={\frac {1}{2}}f(x_{\mathrm {max} })\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6b5036d456ecde10e669734a6d30a93728a64bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.235ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})={\frac {1}{2}}f(x_{\mathrm {max} })\,}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Dann ist die Halbwertsbreite die Differenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc2386becdaa27a7557ccc33e04a518b4f99636d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umrechnung">Umrechnung</h2></div>

<p>Für eine feste Funktionsform kann man die Halbwertsbreite in anders definierte Breiten der Funktion umrechnen. So kann man z. B. bei der <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> die FWHM und die <a href="Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" class="mw-redirect" title="Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Standardabweichung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"></span> ineinander umrechnen:

</p>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\,\sigma \approx 2{,}3548\cdot \sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af6cf6096023b4a7f998d99159e4c91fd40f6c9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.299ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\,\sigma \approx 2{,}3548\cdot \sigma }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Bereich der FWHM umfasst dabei ca. 76 % der Fläche der Normalverteilung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Peakverbreiterung">Peakverbreiterung</h2></div>

<p>Die Zunahme der Halbwertsbreite eines <a href="Peak" title="Peak">Peaks</a> wird als Peakverbreiterung bezeichnet. Dabei bleibt die <a href="Intensit%C3%A4t_(Physik)" title="Intensität (Physik)">Intensität</a> des Peaks (d. h. sein <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integral</a> über der Ausdehnungsgröße) meist gleich, dafür nimmt die Peakhöhe ab.

</p><p>Mögliche Ursachen für eine Peakverbreiterung sind z. B. in der Physik die <a href="Linienverbreiterung" title="Linienverbreiterung">Linienverbreiterung</a>, beispielsweise Emissionslinien zeigen energetische Verbreiterung, oder die <a href="Dispersion_(Physik)" title="Dispersion (Physik)">Dispersion</a> in der Wellenpakete mit der Zeit zerfließen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbeispiele">Anwendungsbeispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Antennen">Antennen</h3></div>

<p>In der <a href="Antennentechnik" class="mw-redirect" title="Antennentechnik">Antennentechnik</a> wird der <a href="Richtfaktor" title="Richtfaktor">Richtfaktor</a> einer Antenne als Halbwertsbreite oder „Öffnungswinkel“ angegeben. Gemeint ist hier der Abstand zwischen den −3-<a href="Dezibel" class="mw-redirect" title="Dezibel">dB</a>-Leistungsgrenzen. Die Halbwertsbreite der Antenne im nebenstehenden Beispiel ist also 1,67°.

</p><p>Die Halbwertsbreite in einem horizontalen Richtdiagramm ist oft symmetrisch, weil die Ausbreitungsbedingungen links und rechts vom Leistungsmaximum meist ungefähr gleich sind. Bei einem vertikalen Richtdiagramm ist die Halbwertsbreite meist unsymmetrisch verteilt, weil an der unteren Flanke des <a href="Antennendiagramm" title="Antennendiagramm">Antennendiagramms</a> zum Beispiel der Einfluss der Erdoberfläche als Reflektor wirksam sein kann und an der oberen Flanke nicht.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beleuchtung">Beleuchtung</h3></div>

<p>Die <a href="Abstrahlcharakteristik" class="mw-redirect" title="Abstrahlcharakteristik">Abstrahlcharakteristik</a> einer <a href="Leuchte" title="Leuchte">Leuchte</a> (mit Optik) wird meist vereinfacht mit einem Winkel angegeben. Dieser „Abstrahlwinkel“ ist ebenfalls der Halbwertswinkel, d. h. der volle Winkel zwischen den zwei Punkten einer Leuchtebene, an denen die <a href="Lichtst%C3%A4rke_(Photometrie)" title="Lichtstärke (Photometrie)">Lichtstärke</a> nur noch die Hälfte des Maximums erreicht. Bei dieser vereinfachten Angabe wird von einer zur Leuchtachse <a href="Symmetrie_(Geometrie)#Rotationssymmetrie_3D" title="Symmetrie (Geometrie)">rotationssymmetrischen</a> Lichtverteilungskurve ausgegangen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Optische_Filter">Optische Filter</h3></div>

<p>Die Halbwertsbreite findet bei der Charakterisierung von Bandpass- und Bandsperrfiltern Anwendung. Die zugrundeliegende Funktion beschreibt hierbei den Transmissionsgrad in Abhängigkeit der Wellenlänge: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau =f(\lambda )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =f(\lambda )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e8deccaa4c0a44e740f660e60ff0d6bc90e510f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.744ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \tau =f(\lambda )}" loading="lazy"></span>. Bei halbmaximaler Transmission <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \tau _{\text{max}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \tau _{\text{max}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad1753220201f5c7c436eb8e989c921db3ff54ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.644ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \tau _{\text{max}}}" loading="lazy"></span> des Transmissionspeaks wird die spektrale Halbwertsbreite definiert als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \lambda _{0{,}5}=|\lambda _{1}-\lambda _{2}|}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \lambda _{0{,}5}=|\lambda _{1}-\lambda _{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25b43908e7afa9c3309f6b9b3548ab5d2a80fe2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.676ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta \lambda _{0{,}5}=|\lambda _{1}-\lambda _{2}|}" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-v=GzbKb59my3U_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-v=GzbKb59my3U-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Optische <a href="Interferenzfilter" title="Interferenzfilter">Interferenzfilter</a> mit sehr geringer FWHM (Schmal-Bandpassfilter, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \lambda _{0,5}\approx }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \lambda _{0,5}\approx }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5e733013acef2d125bde40629d8d89b903ad31d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.078ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \lambda _{0,5}\approx }" loading="lazy"></span> 1 nm) besitzen neben dem hochselektiven Transmissionsgrad für einen definierten Wellenlängenbereich auch weitere technische Eigenschaften, die beim praktischen Einsatz berücksichtigt werden müssen, wie z. B. eine hohe geometrische Winkelabhängigkeit des Transmissionsgrads der auftreffenden Lichtwellen im Transmissionsintervall.<sup id="cite_ref-v=IGdG_7NuzkI_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-v=IGdG_7NuzkI-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-v=GzbKb59my3U-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-v=GzbKb59my3U_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Martin Löffler-Mang, Helmut Naumann, Gottfried Schröder: <cite style="font-style:italic">Handbuch Bauelemente der Optik: Grundlagen, Werkstoffe, Geräte, Messtechnik</cite>. 8. Auflage. Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG, 2020, ISBN 978-3-446-42625-2, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>248<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>ff</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Halbwertsbreite&rft.au=Martin+L%C3%B6ffler-Mang%2C+Helmut+Naumann%2C+Gottfried+Schr%C3%B6der&rft.btitle=Handbuch+Bauelemente+der+Optik%3A+Grundlagen%2C+Werkstoffe%2C+Ger%C3%A4te%2C+Messtechnik&rft.date=2020&rft.edition=8&rft.genre=book&rft.isbn=9783446426252&rft.pages=248ff&rft.pub=Carl+Hanser+Verlag+GmbH+%26+Co.+KG" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-v=IGdG_7NuzkI-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-v=IGdG_7NuzkI_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.rose-hulman.edu/class/ee/hoover/ece554_1/Interference_Filters_Technical_Note.pdf"><i>Interference Filters - Optical Components.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 22. Februar 2022</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AHalbwertsbreite&rft.title=Interference+Filters+-+Optical+Components&rft.description=Interference+Filters+-+Optical+Components&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.rose-hulman.edu%2Fclass%2Fee%2Fhoover%2Fece554_1%2FInterference_Filters_Technical_Note.pdf"> </span></span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/FullWidthatHalfMaximum.html">Beispiele für Halbwertsbreiten gebräuchlicher Funktionen</a> (engl.)</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

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</body></html>